实变函数课程笔记

发表于 更新于 分类于 阅读次数： 本文字数： 6.9k 阅读时长 ≈ 6 分钟

本文是实变函数的课程学习笔记。

第一章

  • 任何无限集必有一个可列子集

    • 对无限集而言，一定存在某个它的真子集，使得该子集与原集合对等

  • [0,1] 是不可列的（用闭区间套定理证明）

  • 任意个开集的并是开集

    • 任意个闭集的交是闭集

  • 有限个开集的交是开集

    • 有限个闭集的并是闭集

  • 聚点：E 为点集，a 的任一邻域中都含有 E 中异于 a 的点（据此可以构造一个含于 E 的点列趋近于 a）

    • 聚点 a 的任意邻域中都有无穷多个异于 a 的点

    • 若集合中的任意一点都为聚点，则该集合为闭集

  • 开集定义略，闭集为开集关于R的补集

  • 导集：E 中一切聚点构成的集合 E'

    • 任何集合的导集一定为闭集（通过取补集证明）

  • 孤立点：集合中不是聚点的点 E \ E'

  • 闭包：集合与其导集的并 E‾=E∪E′\overline{E}=E \cup E{'}

    • 闭集的闭包与其本身相等（由闭集的导集含于原集合这一点可直接推出）

  • 完全集：E = E'

    • 若闭集中没有孤立点，则其为完全集

  • f(x)f(x) 连续   ⟺  \ifff(x)f(x) 关于任意开集的原像为开集

    • 需注意，连续函数在开集上的像未必为开集
  • 任意有界非空开集 G 可以表示为至多可列个互不相交的构成区间的并（证明思路：对于每个G中的点x，可以取x周围的区间 (α,β)(\alpha,\beta) [同时可以保证任意两个区间的交集为空集]，从每个构成区间中取一个有理点，则存在构成区间到有理点的单射，因此构成区间的个数至多可列）

G=∪k(αk, βk)G=\cup_{k} \left(\alpha_k,~\beta_k\right)

  • 康托尔三分集：P0P_0，其关于 [0,1][0,1] 的补集记作 G0G_0

  • 直径：d(A)=sup⁡x,y∈Aρ(x,y)d(A)=\sup_{x,y\in A} \rho(x,y)

  • 点到集合的距离：ρ(a,A)=inf⁡x∈Aρ(a,x)\rho(a,A)=\inf_{x\in A}\rho(a,x)

    • 据此可构造含于 A 中的点列无限趋近于 a

    • 性质：若 A 为非空闭集，则下确界可在 A 中的某点上取到

      • 这一性质可以推广到集合与集合之间的距离函数，即当 A 和 B 都为闭集时，若其中之一有界，则点点距离的下确界一定可以在 A 与 B 中的某两点上取到

        • 注意该推论要求其中之一为有界集，否则可能不成立

  • μ\mu 为某无限集的势，则 μ+μ=μ\mu+\mu=\mu

  • μ\mu 为势，则 2μ>μ2^{\mu} > \mu

  • 伯恩斯坦定理（Bernstein Th.）：若 λ\lambda 与 μ\mu 分别为势，且成立 λ≤μ, μ≤λ\lambda \le \mu,~ \mu \le \lambda，则 λ=μ\lambda=\mu

    • 推论：势与势之间，＞=＜三者有且仅有一者成立

  • 策梅洛选择公理（Zermelo）

第二章

  • 卡拉泰奥多里条件（Caratheodory）：有界集 EE 可测等价于，对任意集合 AA，都成立等式

m⋆A=m⋆(A∩E)+m⋆(A∩CE)m^{\star}A=m^{\star}(A \cap E)+m^{\star}(A\cap \mathscr{C}E)

  • E⊂(a,b)E \subset (a,b) 则

m∗E+m∗Ec=b−am_{*}E+m^{*}E^c=b-a

m∗E+m∗Ec=b−am^{*}E+m_{*}E^c=b-a

  • 内外测度的性质：

    • m∗E≤m∗Em_{*}E \le m^{*}E

    • E1⊂E2E_1 \subset E_2 则 m∗E1≤m∗E2m_{*}E_1\le m_{*}E_2 且 m∗E1≤m∗E2m^{*}E_1 \le m^{*} E_2

    • 若 E=∪i=1∞EkE=\cup_{i=1}^{\infty}E_k 则 m∗E≤∑k=1∞m∗Ekm^{*}E \le \sum_{k=1}^{\infty}m^{*}E_k

    • 上述条件中，若 EkE_k 互不相交，则有 m∗E≥∑k=1∞m∗Ekm_{*}E \ge \sum_{k=1}^{\infty}m_{*}E_k

  • 零测集的任意子集可测且测度为0

  • E0E_0 为零测集，E为有界集，则 E0∪EE_0 \cup E 与 E 的可测性相同

  • 可测性关于可列交、可列并、差、补运算封闭

  • 有界集E可测等价于：对任意 ε>0\varepsilon>0，存在开集 G⊃EG \supset E 与闭集 F⊂EF \subset E 使得

m(G−F)<εm(G -F) < \varepsilon

  • 定理3.6

    • EkE_k为 (a,b) 中渐张可测集列 E1⊂E2⊂⋯E_1 \subset E_2 \subset \cdots 则 E=∪i=1∞EkE=\cup_{i=1}^{\infty}E_k可测且 mE=lim⁡n→∞mEkmE=\lim_{n\to\infty} mE_k

    • EkE_k为 (a,b) 中渐缩可测集列 E1⊃E2⊃⋯E_1 \supset E_2 \supset \cdots 则 E=∩i=1∞EkE=\cap_{i=1}^{\infty}E_k可测且 mE=lim⁡n→∞mEkmE=\lim_{n\to\infty} mE_k

  • 博雷尔集（Borel）：以开集、闭集为对象作至多可列次交并运算

    • 博雷尔集可测

    • 可列个开集的交：GδG_\delta集、可列个闭集的并：FσF_\sigma集

  • E可测，则存在 GδG_\delta集 A 与 FσF_\sigma集 B，使得 A⊃E⊃BA \supset E \supset B 且 mA=mB=mEmA=mB=mE

  • 拓展到无界集上E的测度：lim⁡n→∞m{(−α,α)∩E}\lim_{n\to\infty}m\{ (-\alpha,\alpha) \cap E \}（可能为无穷大）

    • 集合（有界或无界）的可测性对可列并和可列交运算均封闭

  • 勒贝格测度具有平移不变性

  • 一维不可测集是存在的（在承认选择公理的前提下）

  • σ环：基本集X下关于差运算和可列并运算封闭的非空子集类（若将可列并运算弱化为有限并运算则为环）；若包含X本身，则称σ代数

    • 若Y为X的一个子集类，则称包含Y的最小环为由Y产生的环；由Y产生的σ环类似

第三章

  • 定义在可测集上的连续函数必然可测；可测函数是连续函数的推广

  • S在E上几乎处处成立：S不成立的点集的测度E0E_0为0；记作 S,a.e.S, \text{a.e.}

  • fn(x)f_n(x)可测，则 sup⁡nfn(x)\sup_n f_n(x) 和 inf⁡nfn(x)\inf_n f_n(x) 均可测

  • f(x)f(x) 可测，则 f+(x)f_{+}(x)、f−(x)f_{-}(x) 和 ∣f(x)∣|f(x)| 均可测（提示：∣f(x)∣=sup⁡{f(x),−f(x)}|f(x)| = \sup\left\{ f(x),-f(x) \right\}）

    • 推论：lim‾⁡nfn(x)\varlimsup_n f_n(x) 与 lim‾⁡nfn(x)\varliminf_n f_n(x) 均可测（用上下极限的定义证明）

  • 任意可测函数都可以用简单函数来逼近：

    若f(x)在E上可测，则存在非负递增简单函数列 φn(x)\varphi_n(x)

0≤φ1(x)≤φ2(x)≤⋯0\le\varphi_1(x)\le\varphi_2(x)\le\cdots

使得 lim⁡nφn(x)=f(x)\lim_n \varphi_n(x)=f(x) 在E上处处成立

  • 函数的可测性关于和差积商运算封闭（除法运算要求分母几乎处处不为零）

  • 叶果罗夫定理（Egorov Th.）：设E为可测集， mE<∞mE<\infty，fn(x)(n∈N)f_n(x)(n \in \N) 与 f(x)f(x) 都在 E 上几乎处处有限且可测，且 {fn(x)}\{ f_n(x) \} 在 E 上几乎处处收敛于 f(x)f(x)。则对任意 δ>0\delta>0，存在可测集 Eδ⊂EE_\delta \subset E，m(E−Eδ)<δm(E-E_\delta)<\delta，使得 fn(x)f_n(x) 在 EδE_\delta上一致收敛于 f(x)f(x)

    • 在有界可测集E上，几乎处处收敛与近一致收敛等价

  • 依测度收敛：fn(x)f_n(x) 和 f(x)f(x)在E上可测，对任意 ε>0\varepsilon>0 有 lim⁡n→∞m(∣fn(x)−f(x)∣>ε)=0\lim_{n\to\infty}m(|f_n(x)-f(x)|>\varepsilon)=0

  • 几乎处处收敛 → 依测度收敛

  • 里斯定理（Riesz Th.）：mE<∞mE<\infty，则 {fn(x)}\{f_n(x)\} 测度收敛于 f(x)f(x) 等价于：对其任意子列 fnk(x)f_{n_k}(x) 而言，都存在其子列 fnki(x)f_{n_{k_i}}(x) 几乎处处收敛于 f(x)f(x)

    • 正向条件可以减弱： fn(x)f_n(x)依测度收敛到f(x)f(x)，则存在其子列 fnk(x)f_{n_k}(x) 几乎处处收敛于f(x)f(x)

  • 测度收敛性关于线性运算、绝对值运算和 sup⁡/inf⁡\sup/\inf 运算封闭

  • 鲁津定理（Lusin Th.）：对于有界集E上几乎处处有限的函数 f(x) 而言，f(x)为可测函数等价于：对任意 ε>0\varepsilon>0，存在闭集 F⊂E, m(E−F)<εF \subset E,~m(E-F)<\varepsilon，且 f(x)f(x) 限制在F上连续

  • 连续函数逼近有限可测函数：若可测函数f(x)在有限集E上定义且几乎处处有界，则对任意 ε\varepsilon 而言，存在连续函数 g(x) 满足 mE(f≠g)<εmE(f \neq g) < \varepsilon

第四章

  • 绝对连续性：f(x)在可测集E上可积，则对任意 ε>0\varepsilon>0 存在 δ>0\delta>0，使得当 me<δme<\delta 便有

∣∫ef(x)dm∣<ε\left| \int_ef(x)dm \right| < \varepsilon

  • σ可加性：f(x)在有界可测集E上可积，E=∪k=1∞EkE=\cup_{k=1}^{\infty}E_k，所有 EkE_k均可测且两两不相交，则

∫Ef(x)dm=∑i=1∞∫Ekf(x)dm\int_E f(x)dm=\sum_{i=1}^{\infty}\int_{E_k}f(x)dm

  • 线性性1：f(x)在E上可积，则对任意 c∈Rc \in \R，cf(x)cf(x) 可积且

∫Ecf(x)dm=c∫Ef(x)dm\int_E cf(x)dm=c\int_E f(x)dm

  • 线性性2：f和g在E上可积，则f+g也可积且

∫E(f+g)dm=∫Efdm+∫Egdm\int_E (f+g)dm=\int_E fdm + \int_E gdm

  • 单调性：f和g在E上可积，且f≤g则

∫Efdm≤∫Egdm\int_Efdm \le \int_E gdm

  • 唯一性定理：f在E上可积，则 ∫E∣f∣dm=0\int_E \left|f\right|dm=0 等价于 f∼0f \sim 0

  • 连续函数逼近可积函数：若 f(x)f(x) 可积于[a,b]，则对任意 ε 都存在连续函数 g(x)，使得 ∫[a,b]∣f(x)−g(x)∣<ϵ\int_{[a,b]}|f(x)-g(x)|<\epsilon

  • 定理3.1：f(x),un(x)f(x),u_n(x) 在可测集E上非负可测，且 f(x)=∑i=1nun(x)f(x)=\sum_{i=1}^n u_n(x)，则

∫Ef(x)dm=∑i=1n∫Eun(x)dm\int_E f(x)dm=\sum_{i=1}^n \int_E u_n(x)dm

  • 勒维定理（Levi Th.）：fn(x)f_n(x) 在可测集E上可测，且满足

0≤f1(x)≤f2(x)≤⋯ ,lim⁡n→∞fn(x)=f(x)0 \le f_1(x) \le f_2(x) \le \cdots,\quad\lim_{n \to \infty}f_n(x)=f(x)

则有

∫Ef(x)dm=lim⁡n→∞∫Efn(x)dm\int_E f(x)dm=\lim_{n \to \infty} \int_Ef_n(x)dm

  • 法杜定理（Fatou Th.）：fn(x)f_n(x) 在可测集上可测且 fn(x)≥0f_n(x) \ge 0 则

∫Elim‾⁡n→∞fn(x)dm≤lim‾⁡n→∞∫Efn(x)dm\int_E \varliminf_{n\to\infty} f_n(x)dm \le \varliminf_{n\to \infty}\int_Ef_n(x)dm

（Levi与Fatou相互等价）

  • 勒贝格控制收敛定理：fn(x)f_n(x) 在 E 上可测，且满足 fn(x)f_n(x) 依测度收敛于 f(x)f(x)，同时有可积函数 g(x) 使得几乎处处成立 ∣fn(x)∣≤g(x)\left| f_n(x) \right| \le g(x) ，则 f 可积且有

∫Ef(x)dm=lim⁡n→∞∫Efn(x)dm\int_Ef(x)dm=\lim_{n\to\infty} \int_E f_n(x)dm

  • 有界收敛定理（Lebesgue控制收敛的推论）： mE≤∞mE \le \infty，fn(x)f_n(x) 在 E 上可测且满足 ∣fn(x)∣≤M\left| f_n(x) \right| \le M，f(x)=lim⁡n→∞fn(x)f(x)=\lim_{n \to \infty} f_n(x)，则 f(x) 可积且

∫Ef(x)dm=lim⁡n→∞∫Efn(x)dm\int_Ef(x)dm=\lim_{n\to\infty} \int_E f_n(x)dm

（注意Lebesgue并不限制E为有界集，而有界收敛定理要求E有界）

  • 勒贝格-维它利定理：mE<∞mE < \infty， {fn}\{ f_n \} 依测度收敛于 f 且 fnf_n 可积，则

lim⁡n→∞∫E∣fn−f∣dm=0\lim_{n \to \infty} \int_E \left| f_n-f \right|dm=0

等价于 fnf_n 在E上有等度的绝对连续积分

  • 定义在有限区间上的函数若为R可积，则必L可积，且积分值相等