数理统计课程笔记

本文是数理统计的课程学习笔记。

正态分布方差的性质：

$$E(s^2) = \sigma^2$$

$$E(s^{\star2}) = \frac{n-1}{n}\sigma^2$$

二阶矩公式：

$$E (X^2) = Var(x)+(EX)^2$$

Fisher信息量：

$$I_X(\theta) = E\left(\frac{\partial L(x;\theta)}{\partial\theta}\right)^2=-E\left(\frac{\partial^2 L(x;\theta)}{\partial^2 \theta}\right)$$

C-R下界：

$$Var(\hat{g}(X)) \ge \frac{(g^{'}(\theta))^2}{I_X(\theta)}$$

常见分布的性质：

$$\begin{aligned} P(\lambda) &= \Gamma(1,\lambda) \\ \chi^2(k) &= \Gamma(\frac{k}{2},\frac 12) \\ c\Gamma(\alpha,\lambda) &= \Gamma(\alpha, \frac{\lambda}{c}) \\ \Gamma({\alpha_1},{\lambda})+\Gamma(\alpha_2,\lambda)&=\Gamma(\alpha_1+\alpha_2,\lambda) \\ \chi^2(k_1) + \chi^2(k_2) &= \chi^2(k_1+k_2) \end{aligned}$$

枢轴量方法：

求 $\theta$ 的置信区间，首先构造其估计 $\hat{\theta}$，然后构造枢轴量 $G(\theta,\hat{\theta})$，其分布 $f$ 与参数无关。然后求区间使得 $\mathbb{P} \left(a \le G \le b\right)=1-\alpha$。将 $a \le G \le b$ 作为关于 $\theta$ 的不等式解出来，解出的区间 $L_a \le \theta \le l_b$即为所求置信区间

由于使得概率等于 1-\alpha 的区间有无数种，因此可行的置信区间有无数个。通过一定的限制条件（如区间长度最短）可以将区间固定下来。

常见分布的期望和方差：

名称	期望	方差
泊松分布 P(λ)	λ	λ
指数分布 λexp(-λx)	1/λ	1/(λ^2)
卡方分布 χ^2(n)	n	2n
Gamma分布	α/λ	α/(λ^2)

修偏后的样本方差是对原始方差的无偏估计

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