树链剖分

发表于 更新于 分类于 阅读次数： 本文字数： 11k 阅读时长 ≈ 10 分钟

https://www.cnblogs.com/ivanovcraft/p/9019090.html

时间复杂度：
O(n∗log⁡2n)O(n*\log_{2}^{n})

树链剖分：

  1. dfs搜索图的基本信息：dep、fa、sz
  2. dfs搜有关重链的信息：dfn、id、top
  3. 读入点权，初始化线段树   线段树维护tag、max、sum
  4. 操作
    1. 单点修改：[l, l]处，query当前，线段树差分add
    2. 查询最大：线段树分治查询max
    3. 查询和值：线段树分治查询sum
      • 查询策略：先pushdown，再二分查询两棵子树

板子题：[HAOI2015]树上操作

https://loj.ac/problem/2125

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=3e6+10;
int n,m,cnt,head[maxn],ima,kkk[maxn],origin[maxn];    //图
int fa[maxn],dep[maxn],sz[maxn],son[maxn],top[maxn],dfn[maxn],low[maxn];    //树剖相关
struct Edge{
    int to,nxt;
}a[maxn<<1];
struct Node{
    int l,r;
    ll sum,tag;
}tr[maxn<<2];
void ins(int x,int y){a[++cnt]=(Edge){y,head[x]}; head[x]=cnt;}


void dfs1(int x,int from){
    fa[x]=from;
    dep[x]=dep[fa[x]]+1;
    sz[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=a[i].nxt){
        if(a[i].to==fa[x]) continue;
        dfs1(a[i].to,x);
        sz[x]+=sz[a[i].to];
        if(sz[son[x]]<sz[a[i].to])
            son[x]=a[i].to;
    }
}


void dfs2(int x,int t){
    top[x]=t;
    dfn[x]=++ima;
    low[x]=max(low[x],dfn[x]);
    if(!son[x]) return;
    dfs2(son[x],t);
    low[x]=max(low[x],low[son[x]]);
    for(int i=head[x];i;i=a[i].nxt){
        if(a[i].to==fa[x]||a[i].to==son[x]) continue;
        dfs2(a[i].to,a[i].to);
        low[x]=max(low[x],low[a[i].to]);
    }
}


void update(int k) {tr[k].sum=tr[k*2].sum+tr[k*2+1].sum;}
void build(int k,int l,int r){
    tr[k].l=l,tr[k].r=r;
    if(l==r){
        tr[k].sum=origin[l];
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(k*2,l,mid);
    build(k*2+1,mid+1,r);
    update(k);
}


void pushdown(int k){
    tr[k*2].sum+=(tr[k*2].r-tr[k*2].l+1)*tr[k].tag;
    tr[k*2].tag+=tr[k].tag;
    tr[k*2+1].sum+=(tr[k*2+1].r-tr[k*2+1].l+1)*tr[k].tag;
    tr[k*2+1].tag+=tr[k].tag;
    tr[k].tag=0;
}


void add(int k,int l,int r,ll v){
    if(l<=tr[k].l&&tr[k].r<=r){
        tr[k].tag+=v;
        tr[k].sum+=(tr[k].r-tr[k].l+1)*v;
        return;
    }
    if(tr[k].tag) pushdown(k);
    int mid=tr[k].l+tr[k].r>>1;
    if(l<=mid) add(k*2,l,r,v);
    if(r>mid) add(k*2+1,l,r,v);
    update(k);
}


ll getSum(int k,int l,int r){
    if(l<=tr[k].l&&tr[k].r<=r) {return tr[k].sum;}
    if(tr[k].tag) pushdown(k);
    ll ans=0;
    int mid=tr[k].l+tr[k].r>>1;
    if(l<=mid) ans+=getSum(k*2,l,r);
    if(r>mid) ans+=getSum(k*2+1,l,r);
    return ans;
}


void makeAdd(int l,int r,ll v){
    while(top[l]!=top[r]){
        if(dep[top[l]]<dep[top[r]])    //st. l.top.dep>=r.top.dep
            swap(l,r);
        add(1,dfn[top[l]],dfn[l],v);
        l=fa[top[l]];
    }
    /* condition: dep[top[l]]==dep[top[r]] */
    if(dep[r]<dep[l]) //st. dep[l]<=dep[r]
        swap(l,r);
    add(1,dfn[l],dfn[r],v);
}


ll query(int l,int r){
    ll ans=0;
    while(dep[top[l]]!=dep[top[r]]){
        if(dep[top[l]]<dep[top[r]]) swap(l,r);
        ans+=getSum(1,dfn[top[l]],dfn[l]);
        l=fa[top[l]];
    }
    if(dep[l]>dep[r]) swap(l,r);
    ans+=getSum(1,dfn[l],dfn[r]);
    return ans;
}


int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&kkk[i]);
    for(int i=1,x,y;i<=n-1;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        ins(x,y); ins(y,x);
    }
    dfs1(1,0);
    dfs2(1,1);
    for(int i=1;i<=n;i++) origin[dfn[i]]=kkk[i];
    build(1,1,n);
    for(int i=1,op,x,y;i<=m;i++){
        scanf("%d",&op);
        if(op==1){
            scanf("%d%d",&x,&y);
            makeAdd(x,x,y);
        }else if(op==2){
            scanf("%d%d",&x,&y);
            add(1,dfn[x],dfn[x]+sz[x]-1,y);
        }else{
            scanf("%d",&x);
            printf("%lld\n",query(1,x));
        }
    }
    return 0;
}

P3384 【模板】轻重链剖分

https://www.luogu.com.cn/problem/P3384

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
int n,m,r,p,cnt,head[maxn],ori[maxn],id[maxn],ima;
int sz[maxn],fa[maxn],dep[maxn],son[maxn],dfn[maxn],top[maxn];
struct Edge{
    int to,nxt;
}e[maxn<<1];
struct Node{
    int l,r;
    ll sum,tag;
}a[maxn<<2];


template<typename T> void read(T& x){
    T v=0,w=1; char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0') {if(ch=='-') w=-1; ch=getchar();}
    while(ch<='9'&&ch>='0') v=v*10+ch-'0', ch=getchar();
    x=v*w; return;
}
template<typename T> void write(T x){
    if(x<0) putchar('-'), x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
void ins(int x,int y){e[++cnt]=(Edge){y,head[x]}; head[x]=cnt;}


void dfs1(int x,int from){
    fa[x]=from;
    dep[x]=dep[fa[x]]+1;
    sz[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
        if(e[i].to==from) continue;
        dfs1(e[i].to,x);
        sz[x]+=sz[e[i].to];
        if(sz[son[x]]<sz[e[i].to]) son[x]=e[i].to;
    }
}


void dfs2(int x,int t){
    dfn[x]=++ima;
    id[ima]=x;
    top[x]=t;
    if(!son[x]) return;
    dfs2(son[x],t);
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
        if(e[i].to==fa[x]||e[i].to==son[x]) continue;
        dfs2(e[i].to,e[i].to);
    }
}


void update(int k) {a[k].sum=(a[k*2].sum+a[k*2+1].sum)%p;}


void build(int k,int l,int r){
    a[k].l=l,a[k].r=r;
    if(l==r){
        a[k].sum=ori[id[l]];
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(k*2,l,mid);
    build(k*2+1,mid+1,r);
    update(k);
}


void pushdown(int k){
    a[k*2].sum=(a[k*2].sum+(a[k*2].r-a[k*2].l+1)*a[k].tag)%p;
    a[k*2].tag=(a[k*2].tag+a[k].tag)%p;
    a[k*2+1].sum=(a[k*2+1].sum+(a[k*2+1].r-a[k*2+1].l+1)*a[k].tag)%p;
    a[k*2+1].tag=(a[k*2+1].tag+a[k].tag)%p;
    a[k].tag=0;
}


void add(int k,int l,int r,ll v){
    if(l<=a[k].l&&a[k].r<=r){
        a[k].sum=(a[k].sum+(a[k].r-a[k].l+1)*v)%p;
        a[k].tag=(a[k].tag+v)%p;
        return;
    }
    if(a[k].tag) pushdown(k);
    int mid=a[k].l+a[k].r>>1;
    if(l<=mid) add(k*2,l,r,v);
    if(r>mid) add(k*2+1,l,r,v);
    update(k);
}


ll sum(int k,int l,int r){
    if(l<=a[k].l&&a[k].r<=r) return a[k].sum;
    ll ans=0;
    if(a[k].tag) pushdown(k);
    int mid=a[k].l+a[k].r>>1;
    if(l<=mid) ans=(ans+sum(k*2,l,r))%p;
    if(r>mid) ans=(ans+sum(k*2+1,l,r))%p;
    return ans;
}


void makeAdd(int x,int y,ll v){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        add(1,dfn[top[x]],dfn[x],v);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    add(1,dfn[x],dfn[y],v);
}


ll makeSum(int x,int y){
    ll ans=0;
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        ans=(ans+sum(1,dfn[top[x]],dfn[x]))%p;
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    ans=(ans+sum(1,dfn[x],dfn[y]))%p;
    return ans;
}


int main(){
    read(n),read(m),read(r),read(p);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(ori[i]);
    for(int i=1,x,y;i<=n-1;i++){
        read(x),read(y);
        ins(x,y),ins(y,x);
    }
    dfs1(r,0);
    dfs2(r,r);
    build(1,1,n);
    for(int i=1,op,x,y,z;i<=m;i++){
        read(op);
        switch(op){
            case 1:
                read(x),read(y),read(z);
                makeAdd(x,y,z);
                break;
            case 2:
                read(x),read(y);
                write(makeSum(x,y)),putchar('\n');
                break;
            case 3:
                read(x),read(y);
                add(1,dfn[x],dfn[x]+sz[x]-1,y);
                break;
            case 4:
                read(x);
                write(sum(1,dfn[x],dfn[x]+sz[x]-1)),putchar('\n');
                break;
        }
    }
    return 0;
}

P2486 [SDOI2011]染色

image.png

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
int n,m,head[maxn],cnt,ori[maxn],ima;
int fa[maxn],dep[maxn],son[maxn],sz[maxn],dfn[maxn],top[maxn],id[maxn];
struct Edge{
    int to,nxt;
}e[maxn<<1];
void ins(int x,int y) {e[++cnt]=(Edge){y,head[x]}; head[x]=cnt;}
struct Node{
    int l,r,tag,cnt,lc,rc;
}a[maxn<<2];


template<typename T> void read(T& x){
    T v=0,w=1; char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0') {if(ch=='-') w=-1; ch=getchar();}
    while(ch<='9'&&ch>='0') v=v*10+ch-'0', ch=getchar();
    x=v*w; return;
}
template<typename T> void write(T x){
    if(x<0) x=-x, putchar('-');
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
void getc(char &x){
    x=getchar();
    while(x^'C'&&x^'Q') x=getchar();
}


void dfs1(int x,int from){
    fa[x]=from;
    dep[x]=dep[from]+1;
    sz[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
        if(e[i].to==from) continue;
        dfs1(e[i].to,x);
        sz[x]+=sz[e[i].to];
        if(sz[son[x]]<sz[e[i].to]) son[x]=e[i].to;
    }
}


void dfs2(int x,int t){
    top[x]=t;
    dfn[x]=++ima;
    id[ima]=x;
    if(!son[x]) return;
    dfs2(son[x],t);
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
        if(e[i].to==fa[x]||e[i].to==son[x]) continue;
        dfs2(e[i].to,e[i].to);
    }
}


void pushdown(int k){
    a[k*2].cnt=a[k*2+1].cnt=1;
    a[k*2].tag=a[k*2+1].tag=a[k].tag;
    a[k*2].rc=a[k*2].lc=a[k*2+1].rc=a[k*2+1].lc=a[k].tag;
    a[k].tag=0;
}


void update(int k){
    a[k].cnt=a[k*2].cnt+a[k*2+1].cnt;
    if(a[k*2].rc==a[k*2+1].lc) a[k].cnt--;
    a[k].lc=a[k*2].lc; a[k].rc=a[k*2+1].rc;
}


void build(int k,int l,int r){
    a[k].l=l,a[k].r=r;
    if(l==r){
        a[k].lc=a[k].rc=ori[id[l]];
        a[k].cnt=1;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(k*2,l,mid);
    build(k*2+1,mid+1,r);
    update(k);
}


void change(int k,int l,int r,int c){
    if(l<=a[k].l&&a[k].r<=r){
        a[k].cnt=1;
        a[k].lc=a[k].rc=c;
        a[k].tag=c;
        return;
    }
    if(a[k].tag) pushdown(k);
    int mid=a[k].l+a[k].r>>1;
    if(l<=mid) change(k*2,l,r,c);
    if(r>mid) change(k*2+1,l,r,c);
    update(k);
}


int sum(int k,int l,int r){
    if(l<=a[k].l&&a[k].r<=r){
        return a[k].cnt;
    }
    if(a[k].tag) pushdown(k);
    int mid=a[k].l+a[k].r>>1,ans=0,son=0;
    if(l<=mid) ans+=sum(k*2,l,r),son++;
    if(r>mid) ans+=sum(k*2+1,l,r),son++;
    if(son==2&&a[k*2].rc==a[k*2+1].lc) ans--;
    return ans;
}


void makeChange(int x,int y,int c){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        change(1,dfn[top[x]],dfn[x],c);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dfn[x]>dfn[y]) swap(x,y);
    change(1,dfn[x],dfn[y],c);
}


int getColor(int k,int l){
    if(a[k].tag) pushdown(k);
    if(a[k].l==l&&a[k].r==l) return a[k].lc;
    int mid=a[k].l+a[k].r>>1;
    if(l<=mid) return getColor(k*2,l);
    else return getColor(k*2+1,l);
}


int getSum(int x,int y){
    int ans=0;
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        ans+=sum(1,dfn[top[x]],dfn[x]);
        if(getColor(1,dfn[top[x]])==getColor(1,dfn[fa[top[x]]])) ans--;
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dfn[x]>dfn[y]) swap(x,y);
    ans+=sum(1,dfn[x],dfn[y]);
    return ans;
}


int main(){
    read(n),read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(ori[i]);
    for(int i=1,x,y;i<=n-1;i++){
        read(x),read(y);
        ins(x,y),ins(y,x);
    }
    dfs1(1,0);
    dfs2(1,1);
    build(1,1,n);
    char op;
    for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
        getc(op);
        if(op=='C'){
            read(x),read(y),read(z);
            makeChange(x,y,z);
        }else{
            read(x),read(y);
            write(getSum(x,y));
            putchar('\n');
        }
    }
    return 0;
}